Cálculo de x^2=i

Resolución de la ecuación x² = i . Por razones pedagógocas resuelvo en paralelo otra ecuación, en concreto x² = 4. La idea es seguir esencialmente el mismo procedimiento en ambos casos y comprobar cómo las herramientas de los números complejos permiten entender de una forma natural las raíces cuadradas. Comenzamos escribiendo i y 4 como números complejos y representándolos en el plano complejo. A continuación utilizamos la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ para escribir ambos números en forma exponencial. Un punto fundamental de la resolución consiste en tener en cuenta todos los argumentos posibles, añadiendo vueltas completas mediante 2πk, con k entero. A partir de ahí resolvemos x² = i y x² = 4 y obtenemos todas sus soluciones. Para x² = i obtenemos las dos raíces cuadradas de i: √2/2 + (√2/2)i y −√2/2 − (√2/2)i. Para x² = 4 obtenemos 2 y −2. Una clase de números complejos para comprender la relación entre raíces, argumentos, forma trigonométrica, forma exponencial y fórmula de Euler. TIMELINE 00:00 Introducción: x² = i y x² = 4 00:33 Dos ecuaciones resueltas en paralelo 00:52 Escribir i y 4 como números complejos 01:28 Fórmula de Euler 02:14 Representación de i en el plano complejo 03:09 Representación de 4 en el plano complejo 03:36 Forma trigonométrica de i 04:15 Forma exponencial de i 04:28 Forma trigonométrica y exponencial de 4 05:11 Argumento principal de un número complejo 05:25 Argumentos equivalentes y vueltas completas 06:08 Forma exponencial general de i 06:46 Forma exponencial general de 4 08:34 Ecuación x² = i 08:54 Ecuación x² = 4 09:26 Cómo calcular las raíces cuadradas 10:09 Soluciones xₖ y argumentos 11:31 Raíces cuadradas de i y de 4 12:10 Primera raíz cuadrada de i 12:41 Forma trigonométrica y forma binómica 13:29 Primera raíz cuadrada de 4: 2 13:57 Segunda raíz cuadrada de i 14:31 Argumento 5π/4 y circunferencia goniométrica 15:09 Forma trigonométrica de e^(i5π/4) 15:58 Las dos raíces cuadradas de i 16:33 Segunda raíz cuadrada